Arbeiten mit Binärzahlen

Binärzahlen in Dezimalzahlen umwandeln

Um eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, wird das Produkt aus Stellenwert und Ziffer jeder Stelle aufsummiert.

Potenz	Stellenwert	Ziffer	Stellenwert * Ziffer
24	16	1	16 * 1 = 16
23	8	0	8 * 0 = 0
22	4	0	4 * 0 = 0
21	2	1	2 * 1 = 2
20	1	0	1 * 0 = 0
2-1	0,5	0	0,5 * 0 = 0
2-2	0,25	1	0,25 * 1 = 0,25
2-3	0,125	0	0,125 * 0 = 0
2-4	0,0625	1	0,0625 * 1 = 0,0625

10010,0101₂ = 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 18,3125₁₀

Natürliche Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln

Eine natürliche Dezimalzahl lässt sich entweder mit einer Stellenwerttabelle oder dem Divisions-Verfahren in eine Binärzahl umwandeln.

Im Beispiel soll die Zahl 525₁₀ in eine Binärzahl umgewandelt werden.

Divisions-Verfahren

Ganzzahlige Division	Quotient	Divisionsrest
525 : 2	262	1
262 : 2	131	0
131 : 2	65	1
65 : 2	32	1
32 : 2	16	0
16 : 2	8	0
8 : 2	4	0
4 : 2	2	0
2 : 2	1	0
1 : 2	0	1

525₁₀ = 1000001101₂

Stellenwerttabelle

Potenz	Stellenwert	Vergleich	Restwert	Ziffer
29	512	512 < 525	525 - 512 = 13	1
28	256	256 > 13	13	0
27	128	128 > 13	13	0
26	64	64 > 13	13	0
25	32	32 > 13	13	0
24	16	16 > 13	13	0
23	8	8 < 13	13 - 8 = 5	1
22	4	4 < 5	5 - 4 = 1	1
21	2	2 > 1	1	0
20	1	1 = 1	1 - 1 = 0	1

525₁₀ = 1000001101₂

Bilden des Zweierkomplements

Das Zweierkomplement entsteht, indem zunächst das Einerkomplement gebildet wird (alle Bits werden invertiert) und anschließend eine 1 hinzuaddiert wird. Einer positiven Binärzahl sind dabei unendlich viele Nullen vorangestellt.

Im Beispiel soll die Zahl -95₁₀ im Zweierkomplement dargestellt werden.

	2n	...	27	26	25	24	23	22	21	20
Dezimalzahl ohne Vorzeichen in Binärzahl umwandeln	0	...	0	1	0	1	1	0	0	1
Invertieren	1	...	1	0	1	0	0	1	1	0
1 Addieren	1	...	1	0	1	0	0	1	1	1

hinweis

Die Rückumwandlung erfolgt analog.

Reelle Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln

Eine reelle Dezimalzahl lässt sich entweder mit einer Stellenwerttabelle oder dem Multiplikations-Verfahren in eine Binärzahl umwandeln.

Im Beispiel soll die Zahl 0,1₁₀ in eine Binärzahl umgewandelt werden.

Multiplikations-Verfahren

Multiplikation	Produkt	Vorkommazahl
0,1 * 2	0,2	0
0,2 * 2	0,4	0
0,4 * 2	0,8	0
0,8 * 2	1,6	1
0,6 * 2	1,2	1
0,2 * 2	0,4	0
...	...	...

0,1₁₀ = 0,000110...₂

Stellenwerttabelle

Potenz	Stellenwert	Vergleich	Restwert	Ziffer
2-1	0,5	0,5 > 0,1	0,1	0
2-2	0,25	0,25 > 0,1	0,1	0
2-3	0,125	0,125 > 0,1	0,1	0
2-4	0,0625	0,0625 < 0,1	0,1 - 0,0625 = 0,0375	1
2-5	0,03125	0,03125 < 0,0375	0,0375 - 0,03125 = 0,00625	1
2-6	0,015625	0,015625 > 0,00625	0,00625	0
...	...	...	...	...

0,1₁₀ = 0,000110...₂

Reelle Dezimalzahlen in Gleitkommazahlen umwandeln

Bei der Umwandlung einer reellen Zahl in eine Gleitkommazahl werden Vor- und Nachkommazahl zunächst in Binärzahlen umgewandelt. Durch Verschieben des Kommas zur führenden 1, Runden auf das LSB und Entfernen der führenden 1 entsteht die Mantisse. Zum Exponenten wird anschließend der Bias addiert (127 bei einfacher, 1023 bei doppelter Genauigkeit), und das Vorzeichen wird als einzelnes Bit gespeichert.

Im Beispiel soll die Zahl -27,04₁₀ in eine Gleitkommazahl mit einfacher Genauigkeit umgewandelt werden.

	Eingabe	Ausgabe
Vorkommazahl in Binärzahl umwandeln	27	11011
Nachkommazahl in Binärzahl umwandeln	0,04	00001010001111010111...
Vor- und Nachkommazahl zusammenführen	11011 und 00001010001111010111...	11011,00001010001111010111...
Komma zur führenden 1 verschieben	11011,00001010001111010111...*20	1,101100001010001111010111...*24
Runden auf das LSB	1,101100001010001111010111...*24	1,10110000101000111101100*24
Führende 1 entfernen	1,10110000101000111101100*24	10110000101000111101100*24
Bias zum Exponenten addieren	4 + 127 = 131	10000011
Vorzeichen umwandeln	-	1

-27,04₁₀ = 1 10000011 10110000101000111101100₂

Binärzahlen addieren und subtrahieren

Für die Addition von Binärzahlen gelten vier Regeln. Die Subtraktion erfolgt durch Addition des Zweierkomplements: a - b = a + (-b).

• Fall 1: 0 + 0 = 0
• Fall 2: 0 + 1 = 1
• Fall 3: 1 + 0 = 1
• Fall 4: 1 + 1 = 0 (Übertrag 1)

a + b

Im Beispiel werden die Zahlen 3 und 47 addiert.

  00000011 (3)
+ 00101111 (47)
     1111
---------------
= 00110010 (50)

(-a) + b

Im Beispiel werden die Zahlen -3 und 47 addiert.

   11111101 (-3)
+  00101111 (47)
  11111111
----------------
=  00101100 (44)

a + (-b)

Im Beispiel werden die Zahlen 3 und -47 addiert.

   00000011 (3)
+  11010001 (-47)
        11
----------------
=  11010100 (-44)

(-a) + (-b)

Im Beispiel werden die Zahlen -3 und -47 addiert.

   11111101 (-3)
+  11010001 (-47)
  1111   1
----------------
=  11001110 (-50)

hinweis

Der bei der Addition des Zweierkomplements möglicherweise auftretende Stellenüberlauf wird ignoriert.