Arbeiten mit Binärzahlen

Binärzahlen in Dezimalzahlen umwandeln

Zur Umwandlung einer Binärzahl in eine Dezimalzahl muss das Produkt aus Stellenwert und Ziffer jeder Stelle aufsummiert werden.

Potenz	Stellenwert	Ziffer	Stellenwert * Ziffer
24	16	1	16 * 1 = 16
23	8	0	8 * 0 = 0
22	4	0	4 * 0 = 0
21	2	1	2 * 1 = 2
20	1	0	1 * 0 = 0
2-1	0,5	0	0,5 * 0 = 0
2-2	0,25	1	0,25 * 1 = 0,25
2-3	0,125	0	0,125 * 0 = 0
2-4	0,0625	1	0,0625 * 1 = 0,0625

10010,0101₂ = 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 18,3125₁₀

Natürliche Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln

Zur Umwandlung einer natürlichen Dezimalzahl in eine Binärzahl kann entweder eine Stellenwerttabelle oder das Divisions-Verfahren verwendet werden.

Im Beispiel soll die Zahl 525₁₀ in eine Binärzahl umgewandelt werden.

Divisions-Verfahren

Ganzzahlige Division	Quotient	Divisionsrest
525 : 2	262	1
262 : 2	131	0
131 : 2	65	1
65 : 2	32	1
32 : 2	16	0
16 : 2	8	0
8 : 2	4	0
4 : 2	2	0
2 : 2	1	0
1 : 2	0	1

525₁₀ = 1000001101₂

Stellenwerttabelle

Potenz	Stellenwert	Vergleich	Restwert	Ziffer
29	512	512 < 525	525 - 512 = 13	1
28	256	256 > 13	13	0
27	128	128 > 13	13	0
26	64	64 > 13	13	0
25	32	32 > 13	13	0
24	16	16 > 13	13	0
23	8	8 < 13	13 - 8 = 5	1
22	4	4 < 5	5 - 4 = 1	1
21	2	2 > 1	1	0
20	1	1 = 1	1 - 1 = 0	1

525₁₀ = 1000001101₂

Bilden des Zweierkomplements

Zum Bilden des Zweierkomplements wird zunächst das Einerkomplement gebildet, d.h. alle Bits werden invertiert. Hierbei ist zu beachten, dass einer positiven Binärzahl unendlich viele Nullen vorangestellt sind. Anschließend wird noch eine 1 hinzuaddiert.

Im Beispiel soll die Zahl -95₁₀ im Zweierkomplement dargestellt werden.

	2n	...	27	26	25	24	23	22	21	20
Dezimalzahl ohne Vorzeichen in Binärzahl umwandeln	0	...	0	1	0	1	1	0	0	1
Invertieren	1	...	1	0	1	0	0	1	1	0
1 Addieren	1	...	1	0	1	0	0	1	1	1

Hinweis

Die Rückumwandlung erfolgt analog.

Reelle Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln

Zur Umwandlung einer reellen Dezimalzahl in eine Binärzahl kann entweder eine Stellenwerttabelle oder das Multiplikations-Verfahren verwendet werden.

Im Beispiel soll die Zahl 0,1₁₀ in eine Binärzahl umgewandelt werden.

Multiplikations-Verfahren

Multiplikation	Produkt	Vorkommazahl
0,1 * 2	0,2	0
0,2 * 2	0,4	0
0,4 * 2	0,8	0
0,8 * 2	1,6	1
0,6 * 2	1,2	1
0,2 * 2	0,4	0
...	...	...

0,1₁₀ = 0,000110...₂

Stellenwerttabelle

Potenz	Stellenwert	Vergleich	Restwert	Ziffer
2-1	0,5	0,5 > 0,1	0,1	0
2-2	0,25	0,25 > 0,1	0,1	0
2-3	0,125	0,125 > 0,1	0,1	0
2-4	0,0625	0,0625 < 0,1	0,1 - 0,0625 = 0,0375	1
2-5	0,03125	0,03125 < 0,0375	0,0375 - 0,03125 = 0,00625	1
2-6	0,015625	0,015625 > 0,00625	0,00625	0
...	...	...	...	...

0,1₁₀ = 0,000110...₂

Reelle Dezimalzahlen in Gleitkommazahlen umwandeln

Bei der Umwandlung einer reellen Zahl in eine Gleitkommazahl werden zunächst Vor- und Nachkommazahl in Binärzahlen umgewandelt. Anschließend wird durch Gleiten bzw. Verschieben des Kommas zur führenden 1, dem Runden auf das LSB sowie dem Entfernen der führenden 1 die Mantisse ermittelt. Nach dem Ermitteln der Mantisse wird zum Exponenten noch der Bias (127 bei einfacher Genauigkeit, 1023 bei doppelter Genauigkeit) hinzuaddiert sowie das Vorzeichen umgewandelt.

Im Beispiel soll die Zahl -27,04₁₀ in eine Gleitkommazahl mit einfacher Genauigkeit umgewandelt werden.

	Eingabe	Ausgabe
Vorkommazahl in Binärzahl umwandeln	27	11011
Nachkommazahl in Binärzahl umwandeln	04	00001010001111010111...
Vor- und Nachkommazahl zusammenführen	11011 und 00001010001111010111...	11011,00001010001111010111...
Komma zur führenden 1 verschieben	11011,00001010001111010111...*20	1,101100001010001111010111...*24
Runden auf das LSB	1,101100001010001111010111...*24	1,10110000101000111101100*24
Führende 1 entfernen	1,10110000101000111101100*24	10110000101000111101100*24
Bias zum Exponenten addieren	4 + 127 = 131	10000011
Vorzeichen umwandeln	-	1

-27,04₁₀ = 1 10000011 10110000101000111101100₂

Binärzahlen addieren und subtrahieren

Für die Addition von Binärzahlen gelten folgende Regeln:

• Fall 1: 0 + 0 = 0
• Fall 2: 0 + 1 = 1
• Fall 3: 1 + 0 = 1
• Fall 4: 1 + 1 = 0 (Übertrag 1)

Die Subtraktion von Binärzahlen erfolgt durch die Addition des Zweierkomplements. Es gilt: a - b = a + (-b).

a + b

Im Beispiel werden die Zahlen 3 und 47 addiert.

  00000011 (3)
+ 00101111 (47)
     1111
---------------
= 00110010 (50)

(-a) + b

Im Beispiel werden die Zahlen -3 und 47 addiert.

   11111101 (-3)
+  00101111 (47)
  11111111
----------------
=  00101100 (44)

a + (-b)

Im Beispiel werden die Zahlen 3 und -47 addiert.

   00000011 (3)
+  11010001 (-47)
        11
----------------
=  11010100 (-44)

(-a) + (-b)

Im Beispiel werden die Zahlen -3 und -47 addiert.

   11111101 (-3)
+  11010001 (-47)
  1111   1
----------------
=  11001110 (-50)

Hinweis

Der bei der Addition des Zweierkomplements auftretende mögliche Stellenüberlauf wird ignoriert.